Somme d'un complexe et de son conjugué - Corrigé
Énoncé
On considère
\(z_1=\dfrac{2-i}{4+3i}\)
et
\(z_2=\dfrac{2+i}{4-3i}\)
.
1. Vérifier que
\(z_1+z_2\)
est un nombre réel. Que peut-on en déduire pour les parties imaginaires de
\(z_1\)
et de
\(z_2\)
?
2. Vérifier que
\(z_1-z_2\)
est un nombre imaginaire pur. Que peut-on en déduire pour les parties réelles de
\(z_1\)
et de
\(z_2\)
?
Solution
1.
\(\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_1}+z_1=z_2+z_1\)
car
\(z_1\)
et
\(z_2\)
sont conjugués l'un de l'autre.
Donc
\(z_1+z_2\)
est un nombre réel. Ainsi, les parties imaginaires de
\(z_1\)
et de
\(z_2\)
sont opposées.
2.
\(\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}=\overline{z_1}-z_1=z_2-z_1=-(z_1-z_2)\)
donc
\(z_1-z_2\)
est un imaginaire pur.
\(\text{Re}(z_1-z_2)=\text{Re}(z_1)-\text{Re}(z_2)=0\)
Ainsi les parties réelles de
\(z_1\)
et de
\(z_2\)
sont égales.
Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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